具有以下属性的散布度量将是有用的：

1. 度量应该与数据的分散成比例（当数据聚集在一起时很小，当数据广泛分散时很大）。

2. 该度量应该与数据集中的值的数量无关（否则，仅通过进行更多测量，即使测量的散布没有增加，该值也会增加）。

3. 该措施应该与平均值无关（因为现在我们只对数据的传播感兴趣，而不是其中心趋势）。

两个方差和标准偏差满足这三个标准正态分布的（对称的，“钟形曲线”）的数据集。

方差（σ ²）是在数据组中的每个值相差多少的平均值的度量。以下是它的定义方式：

1. 从数据中的每个值中减去均值。这可以衡量每个值与平均值的距离。

2. 对这些距离中的每一个进行平方（以便它们都是正值），并将所有正方形加在一起。

3. 将平方和除以数据集中的值数。

标准差（σ）只是方差的（正）平方根。

求和运算符

为了编写定义方差的方程，最简单的方法是使用求和运算符 Σ。求和运算符只是一种简写的写法，“取一组数字的总和。” 作为一个例子，我们将展示如何使用求和运算符来编写用于计算数据集1的平均值的等式。我们首先将每个数字分配给变量X ₁ - X ₆，如下所示：

将变量（X）视为每个植物的实验样叶数的测量数量 - 并将下标视为指示试验数（1-6）。为了计算每株植物的平均叶数，我们首先必须将六个试验中的每一个的值相加。使用求和运算符，我们这样写：

这相当于：

要么：

显然，使用求和运算符写入的总和要紧凑得多。下面是计算平均方程，μ _X，采用求和运营商设定我们的数据：

计算一组数字X ₁ - X _N的平均值μ的一般公式如下：

有时候，为了简单起见，下面省略了下标，正如我们在右边所做的那样。取消下标会使方程式变得更加混乱，但仍然可以理解，您正在将X的所有值相加。

方程定义方差

现在您已了解求和运算符的工作原理，您可以了解定义总体方差的等式（请参阅本页末尾有关总体方差和样本方差之间的差异，以及您应该将哪一个用于科学项目） ：

方差（σ ²），被定义为每一个项的平方距离的在从所述平均值（分布的总和μ），通过在分布（项数除以Ñ）。

有一种更有效的方法来计算一组数字的标准偏差，如下式所示：

您可以获取分布中术语的平方和，并除以分布中的项数（N）。从此，你减去平均值（平方μ ²）。以这种方式计算标准偏差的工作要少得多。

很容易向自己证明这两个方程是等价的。从方差的定义开始（下面的等式1）。展开表达式，以便将平均值与平均值的距离进行平方（下面的公式2）。

现在将方程的各个项分开（求和运算符分配括号中的项，参见上面的公式3）。在最后的术语，总和μ ² / Ñ，采取Ñ次，只是Nμ ² / Ñ。

接下来，我们可以简化公式3.在第二个任期的第二项和第三项，你可以看到，Σ X / ñ是写作的只是另一种方式μ，术语的平均水平。所以第二项简化为-2 μ ²（比较等式3和4，上图）。在第三项，Ñ / Ñ等于1，所以第三项简化为μ ²（比较等式3和4，上图）。

最后，根据公式4，您可以看到第二项和第三项可以组合，为我们提供了我们试图在公式5中证明的结果。

作为一个例子，让我们回到我们开始讨论的两个发行版：

数据集1：3,4,4,5,6,8 
数据集2：1,2,4,5,7,11。

每个数据集的方差和标准差是多少？

我们将构造一个表来计算值。您可以使用类似的表格来查找实验结果的方差和标准差。

虽然这两个数据集具有相同的平均值（μ  = 5），方差（σ ²）所述第二数据集，11.00的，是略多于4倍所述第一数据集，2.67的方差。标准差（σ）是方差的平方根，因此第二个数据集的标准差3.32，刚好超过第一个数据集的标准偏差的两倍，即1.63。

方差和标准偏差给出了数据集散点的数值测量。这些度量对于在数据集之间进行比较非常有用，这些数据集超出了简单的视觉印象。

种群方差与样本方差

上面给出的等式向您展示了如何计算整个总体的方差。但是，在进行科学项目时，您几乎永远无法访问整个人口的数据。例如，您可以测量教室中每个人的身高，但无法衡量地球上每个人的身高。如果你用弹射器发射一个乒乓球并测量它的行进距离，理论上你可以无限次地发射球。在任何一种情况下，您的数据只是整个人口的样本。这意味着您必须使用稍微不同的公式来计算方差，在分母中使用N-1项而不是N：

这被称为贝塞尔的修正。